로그 적분 함수

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1. 개요
1.1. 라마누잔-졸트너 상수
2. 지수 적분 함수와의 관계3. 관련 문서

1. 개요 [편집]

로그 적분 함수(Logarithmic Integral function)는 특수함수의 하나로, li(x)\mathrm{li}(x)로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

li(x)≡∫0x1ln⁡t dt\displaystyle \mathrm{li}(x)\equiv\int_0^x\frac{1}{\ln t}\,\mathrm{d}t

로그의 정의에 따라 ln⁡1=0\ln 1=0이기 때문에 x=1x=1일 때에는 값이 정의되지 않는다.

이 함수의 그래프는 아래와 같다.

파일:namu_로그적분함수_그래프_NEW.png

이 함수는 소수 계량 함수와의 관계가 깊으며, 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[1] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다.

이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.

적분 범위를 [0, x][0,\,x]가 아닌 [2, x][2,\,x]로 규정한 경우도 있다.[2] 이럴 경우 특이점인 11이 적분 구간에 포함되지 않는다. 보통은 11을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다.

1.1. 라마누잔-졸트너 상수 [편집]


Remanujan-Soldner constant

위 그래프에서 보듯 x>1x>1 범위에서 xx절편이 하나 존재하는데, 발견자인 요한 폰 졸트너와 이를 해석적으로 계산해낸 스리니바사 라마누잔의 이름을 따와서 라마누잔-졸트너 상수라고 한다. 이 상수는 그리스 문자 μ\mu로 표기하며, 불완전 감마 함수를 이용해 그 값을

μ≡−Γ(0, −ln⁡2)−iπ\mu\equiv-\Gamma(0,\,-\ln2)-i\pi

로 표기할 수 있으며, 소수로 표현하면 약 1.451369⋯1.451369\cdots 정도이다.

2. 지수 적분 함수와의 관계 [편집]

지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.

li(x)=(Ei∘ln⁡)(x)=Ei(ln⁡(x))\begin{aligned} \mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\ &=\mathrm{Ei}(\ln(x)) \end{aligned}

이것의 증명은 아래와 같다. 적분

li(x)=∫0x1ln⁡t dt\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t

의 분자, 분모에 tt를 곱하여

li(x)=∫0xttln⁡t dt\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t

꼴로 만들어 ln⁡t≡−k\ln{t}\equiv-k로 치환하면

dtt=−dklim⁡t→0+ln⁡t=−∞\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty

가 성립함에 따라

li(x)=∫0xttln⁡t dt=∫∞−ln⁡xe−k−k(−dk)=−∫−ln⁡x∞e−kk dk\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\ &= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\ &= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k \end{aligned}

이 적분은 지수 적분 함수와 자연로그의 합성함수 꼴이므로

li(x)=Ei(ln⁡x)\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x)

로 쓸 수 있음을 얻는다.

3. 관련 문서 [편집]

[1] 옛날(가우스와 르장드르가 살아 있었을 시절)에는 xln⁡x\dfrac x{\ln x}를 썼다.[2] 이 경우 대문자 L\mathrm{L}을 써서 Li(x)≡li(x)−li(2)\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2)로 정의한다. 표기가 같은 폴리로그함수와 혼동에 주의. 사실 22보다는 xx절편인 μ\mu가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 보다시피 정수가 아닌지라...

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